Cálculo Exemplos

$\int 1 + {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Reescreva ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ como $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ .

$\int 1 + (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Etapa 1.1.2

Expanda $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 + \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 1.1.3.1.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\int 1 + \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Etapa 1.1.3.1.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\int 1 + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Etapa 1.1.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 1 + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Etapa 1.1.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Etapa 1.1.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Etapa 1.1.3.1.3

Multiplique $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Etapa 1.1.3.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 1.1.3.1.3.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 1.1.3.1.3.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Etapa 1.1.3.1.3.4

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Etapa 1.1.3.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Etapa 1.1.3.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Etapa 1.1.3.2

Reordene os fatores de $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Etapa 1.1.3.3

Subtraia $\cos (x) \sin (x)$ de $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Etapa 1.1.4

Mova $\cos^{2} (x)$ .

$\int 1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 1.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int 1 + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 1.2

Some $1$ e $1$ .

$\int 2 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$2 x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 4

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$2 x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 5

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 5.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 x + C - 2 \int - u d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 x + C - 2 (- \int u d u)$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 x + C + 2 \int u d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

$2 x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum.

$2 x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Etapa 9.2.2.2

Reescreva a expressão.

$2 x + 1 u^{2} + C$

Etapa 9.2.3

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$2 x + u^{2} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$2 x + \cos^{2} (x) + C$