Cálculo Exemplos

$\int {(4 + e^{x})}^{- 4} e^{x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 + e^{x}$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 + e^{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{- 4} d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 4}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ como $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Etapa 3.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 + e^{x}$ .

$- \frac{1}{3 {(4 + e^{x})}^{3}} + C$