Cálculo Exemplos

$y = 3 \sin^{2} (2 x^{3})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin^{2} (2 x^{3}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sin^{2} (2 x^{3})$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x^{3})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x^{3})]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (2 x^{3})$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (2 x^{3})$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (2 x^{3})$ .

$3 (2 \sin (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 (\sin (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x^{3}$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x^{3}$ .

$6 \sin (2 x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$6 \sin (2 x^{3}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x^{3}$ .

$6 \sin (2 x^{3}) (\cos (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) (3 x^{2})$

Etapa 3.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.4.1

Multiplique $3$ por $12$ .

$36 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) x^{2}$

Etapa 3.5.4.2

Reordene os fatores de $36 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) x^{2}$ .

$36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$