Cálculo Exemplos

$\int \frac{9}{2 {(9 - 2 x)}^{\frac{1}{4}}} d x$

Etapa 1

Como $\frac{9}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{9}{2}$ para fora da integral.

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{1}{4}}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 9 - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 9 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $9 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 2.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} \int - \frac{1}{u^{\frac{1}{4}} \cdot 2} d u$

Etapa 3.3

Mova $2$ para a esquerda de $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{9}{2} \int - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{4}}} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{9}{2} (- \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{4}}} d u)$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{9}{2} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u))$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Simplifique.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Etapa 6.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{9}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Etapa 6.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $u^{\frac{1}{4}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{9}{4} \int {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Etapa 6.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{4} \int u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Etapa 6.2.2.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 1$ .

$- \frac{9}{4} \int u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Etapa 6.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{4} \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{4}}$ com relação a $u$ é $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$- \frac{9}{4} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $- \frac{9}{4} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$ como $- \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$ .

$- \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{9}{4}$ .

$- \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{4}} + C$

Etapa 8.2.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$- \frac{36}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{4}} + C$

Etapa 8.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$- \frac{36}{12} u^{\frac{3}{4}} + C$

Etapa 8.2.4

Cancele o fator comum de $36$ e $12$ .

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Etapa 8.2.4.1

Fatore $12$ de $36$ .

$- \frac{12 \cdot 3}{12} u^{\frac{3}{4}} + C$

Etapa 8.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.4.2.1

Fatore $12$ de $12$ .

$- \frac{12 \cdot 3}{12 (1)} u^{\frac{3}{4}} + C$

Etapa 8.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{12 \cdot 3}{12 \cdot 1} u^{\frac{3}{4}} + C$

Etapa 8.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{3}{1} u^{\frac{3}{4}} + C$

Etapa 8.2.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$- 1 \cdot 3 u^{\frac{3}{4}} + C$

Etapa 8.2.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 u^{\frac{3}{4}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 - 2 x$ .

$- 3 {(9 - 2 x)}^{\frac{3}{4}} + C$