Cálculo Exemplos

$\int 5 \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Depois, $d u_{3} = 3 \tan (3 x) d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{3} = \tan (3 x) d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec (3 x))]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 2.1.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 2.1.3

Reescreva $\sec (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 2.1.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 2.1.5

Multiplique $\cos (3 x)$ por $1$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Etapa 2.1.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.1.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.1.6.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.1.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.1.7

Diferencie.

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Etapa 2.1.7.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Etapa 2.1.7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.7.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Etapa 2.1.7.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Etapa 2.1.8

Simplifique.

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Etapa 2.1.8.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.8.1.1

Adicione parênteses.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

Etapa 2.1.8.1.2

Reordene $\cos (3 x)$ e $\sec (3 x)$ .

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Etapa 2.1.8.1.3

Reescreva $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Etapa 2.1.8.1.4

Cancele os fatores comuns.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

Etapa 2.1.8.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Etapa 2.1.8.3

Reescreva $\tan (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Etapa 2.1.8.4

Combine $3$ e $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Etapa 2.1.8.5

Separe as frações.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Etapa 2.1.8.6

Converta de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ em $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

Etapa 2.1.8.7

Divida $3$ por $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$5 \int u_{3} \frac{1}{3} d u_{3}$

Etapa 3

Combine $u_{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$5 \int \frac{u_{3}}{3} d u_{3}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{3} \int u_{3} d u_{3})$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{3}$ e $5$ .

$\frac{5}{3} \int u_{3} d u_{3}$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{3}$ com relação a $u_{3}$ é $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$ como $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{5}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{2} + C$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{5}{6} {u_{3}}^{2} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{5}{6} \ln^{2} (\sec (3 x)) + C$