Cálculo Exemplos

$y = \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Etapa 2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Etapa 3.4

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3}{3} (\tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Etapa 3.5

Combine $\tan^{2} (x)$ e $\frac{3}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3} \sec^{2} (x)$

Etapa 3.6

Combine $\frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3 \sec^{2} (x)}{3}$

Etapa 3.7

Mova $3$ para a esquerda de $\tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Etapa 3.8

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.8.1

Cancele o fator comum.

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Etapa 3.8.2

Divida $\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Etapa 4.2

Fatore $\sec^{2} (x)$ de $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $\sec^{2} (x)$ de $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x)$

Etapa 4.2.2

Multiplique por $1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$

Etapa 4.2.3

Fatore $\sec^{2} (x)$ de $\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Etapa 4.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 4.4

Multiplique $\sec^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sec (x)}^{2 + 2}$

Etapa 4.4.2

Some $2$ e $2$ .

$\sec^{4} (x)$