Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t$

Etapa 1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ por $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Etapa 2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ por $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Etapa 2.2

Eleve $\sqrt{4 + e^{t}}$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Etapa 2.3

Eleve $\sqrt{4 + e^{t}}$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} {\sqrt{4 + e^{t}}}^{1}} d t]$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1 + 1}} d t]$

Etapa 2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}} d t]$

Etapa 2.6

Reescreva ${\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}$ como $4 + e^{t}$ .

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Etapa 2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 + e^{t}}$ como ${(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{({(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

Etapa 2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

Etapa 2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Etapa 2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Etapa 2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{1}} d t]$

Etapa 2.6.5

Simplifique.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t]$

Etapa 3

Calcule a derivada de $\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Etapa 4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Etapa 5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Etapa 6

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$

Etapa 7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (4 + x)}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot 4 + x \cdot x}$

Etapa 8.2

Combine os termos.

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Etapa 8.2.1

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 \cdot x + x \cdot x}$

Etapa 8.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x}$

Etapa 8.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x^{1}}$

Etapa 8.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1 + 1}}$

Etapa 8.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{2}}$

Etapa 8.3

Reordene os termos.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x^{2} + 4 x}$

Etapa 8.4

Fatore $x$ de $x^{2} + 4 x$ .

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Etapa 8.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + 4 x}$

Etapa 8.4.2

Fatore $x$ de $4 x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + x \cdot 4}$

Etapa 8.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (x + 4)}$