Cálculo Exemplos

$\int \frac{\tan (11 \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\tan (11 x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\tan (11 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 1.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 1.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 1.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 11 x^{\frac{1}{2}}$ . Depois, $d u = \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , então, $- d u = \frac{- 11}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 11 x^{\frac{1}{2}}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [11 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.2

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 2.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 2.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$11 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 2.1.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$11 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.1.10

Combine $11$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{11 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.1.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{2}{11} \tan (u) d u$

Etapa 3

Como $\frac{2}{11}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{2}{11}$ para fora da integral.

$\frac{2}{11} \int \tan (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\tan (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{2}{11} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{2}{11} \ln (| \sec (u) |) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{11} \ln (| \sec (11 x^{\frac{1}{2}}) |) + C$