Cálculo Exemplos

$\int (\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x} d x$

Etapa 2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{x} d x$

Etapa 3

Divida $3 x^{2} + 4 x + 1$ por $x$ .

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Etapa 3.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$0$

$3 x^{2}$

$4 x$

$1$

Etapa 3.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$

Etapa 3.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$0$

Etapa 3.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} + 0$ .

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$

Etapa 3.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$

Etapa 3.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$

Etapa 3.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$

Etapa 3.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$0$

Etapa 3.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x + 0$ .

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$0$

Etapa 3.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$0$
							+	$1$

Etapa 3.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{1}{2} \int 3 x + 4 + \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int 3 x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 5

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (3 \int x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \ln (| x |) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} (\frac{3 x^{2}}{2} + 4 x + \ln (| x |)) + C$

Etapa 10.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| x |)) + C$