Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 6 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 6 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ é positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $6 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.1.3

Multiplique $36$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $36$ de $36$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $36$ de $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $36$ de $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 \cos^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $36 \cos^{2} (t)$ como ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $6 \cos (t)$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 6 \sin (t) d t$

Etapa 3

Como $6$ é constante com relação a $t$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (t) d t$

Etapa 4

A integral de $\sin (t)$ com relação a $t$ é $- \cos (t)$ .

$6 (- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $- \cos (t)$ em $\frac{π}{6}$ e em $0$ .

$6 ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (0))$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (0))$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 \cdot 1$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Etapa 5.3.2.4

Reescreva a expressão.

$3 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot 1$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6 \cdot 1$

Etapa 5.3.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Forma decimal:

$0.80384757 \dots$