Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 4 e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = - 2 x$ . Depois, $d u_{1} = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 6.2

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 8

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$\frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 10.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 10.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 10.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 10.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 10.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$- 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 11

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Etapa 12

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 12.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{3}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Etapa 14

Simplifique.

$- 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 2 x$ .

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$