Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{20} x^{6} + \frac{1}{4} x^{- 3} + \frac{1}{2} x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{20} x^{6} + \frac{1}{4} x^{- 3} + \frac{1}{2} x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- \frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{4} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{4}) x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{- 5}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $\frac{1}{20}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{20} x^{6}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{1}{20} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.3.3

Combine $6$ e $\frac{1}{20}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{6}{20} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.3.4

Combine $\frac{6}{20}$ e $x^{5}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{6 x^{5}}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.3.5

Cancele o fator comum de $6$ e $20$ .

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Etapa 1.3.5.1

Fatore $2$ de $6 x^{5}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.5.2.1

Fatore $2$ de $20$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{2 (10)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{2 \cdot 10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{- 3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{1}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.4.3

Combine $- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.4.4

Combine $\frac{- 3}{4}$ e $x^{- 4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.4.5

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.4.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Etapa 1.5.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Etapa 1.5.3

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{3}{2} x^{2}$

Etapa 1.5.4

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Etapa 1.6

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3 x^{5}}{10} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{3}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{5}}{10}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.2.3

Combine $5$ e $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{15}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $15$ e $10$ .

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Etapa 2.2.6.1

Fatore $5$ de $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.6.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- \frac{5}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5 x^{4}}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - \frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 4 (\frac{5}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3.4

Combine $- 4$ e $\frac{5}{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3.6

Combine $\frac{- 20}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3.7

Cancele o fator comum de $- 20$ e $4$ .

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Etapa 2.3.7.1

Fatore $4$ de $- 20 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.3.7.2.4

Divida $- 5 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.4.3

Combine $2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.4.5

Combine $\frac{6}{2}$ e $x$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.4.6

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 2.4.6.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.4.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.4.6.2.4

Divida $3 x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- \frac{3}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{4 x^{4}}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 2.5.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 2.5.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.5.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Etapa 2.5.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.5.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Etapa 2.5.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Etapa 2.5.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Etapa 2.5.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.7.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Etapa 2.5.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Etapa 2.5.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 5})$

Etapa 2.5.8

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + 4 (\frac{3}{4}) x^{- 5}$

Etapa 2.5.9

Combine $4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4} x^{- 5}$

Etapa 2.5.10

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12}{4} x^{- 5}$

Etapa 2.5.11

Combine $\frac{12}{4}$ e $x^{- 5}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12 x^{- 5}}{4}$

Etapa 2.5.12

Mova $x^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12}{4 x^{5}}$

Etapa 2.5.13

Cancele o fator comum de $12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.13.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Etapa 2.5.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.13.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{5})}$

Etapa 2.5.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Etapa 2.5.13.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{3}{x^{5}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{3}{x^{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{4}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.3

Combine $4$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.5

Combine $\frac{12}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

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Etapa 3.2.6.1

Fatore $2$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.6.2.4

Divida $6 x^{3}$ por $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$6 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.4.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Etapa 3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$ .

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Etapa 3.5.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x^{5}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Etapa 3.5.2

Reescreva $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

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Etapa 3.5.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{5}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 3.5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 3.5.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 3.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Etapa 3.5.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.5.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Etapa 3.5.5.2

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Etapa 3.5.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Etapa 3.5.7

Multiplique $x^{- 10}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.7.1

Mova $x^{4}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Etapa 3.5.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{4 - 10})$

Etapa 3.5.7.3

Subtraia $10$ de $4$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{- 6})$

Etapa 3.5.8

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - 15 x^{- 6}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - 15 \frac{1}{x^{6}}$

Etapa 3.6.2

Combine os termos.

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Etapa 3.6.2.1

Combine $- 15$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + \frac{- 15}{x^{6}}$

Etapa 3.6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - \frac{15}{x^{6}}$

Etapa 3.6.3

Reordene os termos.

$f''' (x) = 6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$

Etapa 4

A terceira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$