Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{7 + 4 x^{2}}}{2 x + 5}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{2 + \frac{5}{x}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{2 + \frac{5}{x}}$

Etapa 2.2.2

Divida $4$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + 4}}{2 + \frac{5}{x}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Etapa 2.4

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Etapa 2.7

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \sqrt{7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Etapa 4.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{2 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{0 + 4}}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 6.1.2

Some $0$ e $4$ .

$\frac{- \sqrt{4}}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 6.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2^{2}}}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 6.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{- 1 \cdot 2}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2 + 0}$

Etapa 6.2.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2}{2}$

Etapa 6.4

Divida $- 2$ por $2$ .

$- 1$