Cálculo Exemplos

$3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y = - 44$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 44)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$6 x + 24 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 x + 24 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$6 x + 24 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x + 24 - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$6 x + 24 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 x + 24 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.5.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + 2 y'$

Etapa 2.6

Reordene os termos.

$- 2 y y' + 6 x + 2 y' + 24$

Etapa 3

Como $- 44$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 44$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 2 y y' + 6 x + 2 y' + 24 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Subtraia $6 x$ dos dois lados da equação.

$- 2 y y' + 2 y' + 24 = - 6 x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $24$ dos dois lados da equação.

$- 2 y y' + 2 y' = - 6 x - 24$

Etapa 5.2

Fatore $2 y'$ de $- 2 y y' + 2 y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2 y'$ de $- 2 y y'$ .

$2 y' (- y) + 2 y' = - 6 x - 24$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 y'$ de $2 y'$ .

$2 y' (- y) + 2 y' \cdot 1 = - 6 x - 24$

Etapa 5.2.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' (- y) + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$ por $2 (- y + 1)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$ por $2 (- y + 1)$ .

$\frac{2 y' (- y + 1)}{2 (- y + 1)} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y' (- y + 1)}{2 (- y + 1)} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (- y + 1)}{- y + 1} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- y + 1)}{- y + 1} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$y' = \frac{2 (- 3 x)}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- 3 x)}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 3 x}{- y + 1} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 24$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.3.1

Fatore $2$ de $- 24$ .

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{2 \cdot - 12}{2 (- y + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{2 \cdot - 12}{2 (- y + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{- 12}{- y + 1}$

Etapa 5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} - \frac{12}{- y + 1}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 3 x - 12}{- y + 1}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $3$ de $- 3 x - 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$y' = \frac{3 (- x) - 12}{- y + 1}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Fatore $3$ de $- 12$ .

$y' = \frac{3 (- x) + 3 (- 4)}{- y + 1}$

Etapa 5.3.3.2.2.3

Fatore $3$ de $3 (- x) + 3 (- 4)$ .

$y' = \frac{3 (- x - 4)}{- y + 1}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{3 (- (x) - 4)}{- y + 1}$

Etapa 5.3.3.2.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{3 (- (x) - 1 (4))}{- y + 1}$

Etapa 5.3.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{3 (- (x + 4))}{- y + 1}$

Etapa 5.3.3.2.6

Reescreva $- (x + 4)$ como $- 1 (x + 4)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- y + 1}$

Etapa 5.3.3.2.7

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y) + 1}$

Etapa 5.3.3.2.8

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y) - 1 (- 1)}$

Etapa 5.3.3.2.9

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y - 1)}$

Etapa 5.3.3.2.10

Reescreva $- (y - 1)$ como $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- 1 (y - 1)}$

Etapa 5.3.3.2.11

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- 1 (y - 1)}$

Etapa 5.3.3.2.12

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{3 (x + 4)}{y - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (x + 4)}{y - 1}$