Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{θ^{2}} \sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Combine $\sin (\frac{1}{θ})$ e $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Etapa 1.2

Combine $\frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$ e $\cos (\frac{1}{θ})$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . Depois, $d u_{2} = - \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ , então, $- d u_{2} = \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (\frac{1}{θ})]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = \frac{1}{θ}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{1}{θ}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Etapa 2.1.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{1}{θ}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{θ}$ como $θ^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- θ^{- 2})$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- \frac{1}{θ^{2}})$

Etapa 2.1.4.2

Combine $\cos (\frac{1}{θ})$ e $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 5

Reescreva $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$- \frac{1}{2} \sin^{2} (\frac{1}{θ}) + C$