Cálculo Exemplos

$lim_{a \to 2} \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{a \to 2} a^{2} - 4 a + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $a$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{a \to 2} a^{2} - lim_{a \to 2} 4 a + lim_{a \to 2} 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $a^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - lim_{a \to 2} 4 a + lim_{a \to 2} 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $a$ .

$\frac{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to 2} a + lim_{a \to 2} 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $a$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to 2} a + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $a$ substituindo $2$ por $a$ .

$\frac{2^{2} - 4 lim_{a \to 2} a + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $a$ substituindo $2$ por $a$ .

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.6.3

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $a$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 2} a^{2} - lim_{a \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $a^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - lim_{a \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $a$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $a$ substituindo $2$ por $a$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{a \to 2} \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 4} = lim_{a \to 2} \frac{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4 a + 4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{a \to 2} \frac{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4 a + 4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a^{2} - 4 a + 4$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [4]$ .

$lim_{a \to 2} \frac{\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d a} [- 4 a]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $- 4 a$ em relação a $a$ é $- 4 \frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.5

Como $4$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $4$ em relação a $a$ é $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 + 0}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 a - 4$ e $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a^{2} - 4$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4]$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{2 a + \frac{d}{d a} [- 4]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 4$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $- 4$ em relação a $a$ é $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{2 a + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $2 a$ e $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{2 a}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $2 a - 4$ e $2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $2 a$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a) - 4}{2 a}$

Etapa 1.4.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a) + 2 \cdot - 2}{2 a}$

Etapa 1.4.3

Fatore $2$ de $2 (a) + 2 (- 2)$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a - 2)}{2 a}$

Etapa 1.4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.4.1

Fatore $2$ de $2 a$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a - 2)}{2 (a)}$

Etapa 1.4.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a - 2)}{2 a}$

Etapa 1.4.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{a \to 2} \frac{a - 2}{a}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $a$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{a \to 2} a - 2}{lim_{a \to 2} a}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $a$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{a \to 2} a - lim_{a \to 2} 2}{lim_{a \to 2} a}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $a$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{a \to 2} a - 1 \cdot 2}{lim_{a \to 2} a}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite de $a$ substituindo $2$ por $a$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{a \to 2} a}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $a$ substituindo $2$ por $a$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $2 - 1 \cdot 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2) - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 4.1.2

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{- 1 (- 2) - 1 (2)}{2}$

Etapa 4.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 2) - 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (- 2 + 2)}{2}$

Etapa 4.1.4

Fatore $2$ de $- 1 (- 2 + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 1))}{2}$

Etapa 4.1.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 1))}{2 (1)}$

Etapa 4.1.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 1))}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (- 1 + 1)}{1}$

Etapa 4.1.5.4

Divida $- 1 (- 1 + 1)$ por $1$ .

$- 1 (- 1 + 1)$

Etapa 4.2

Reescreva $- 1 (- 1 + 1)$ como $- (- 1 + 1)$ .

$- (- 1 + 1)$

Etapa 4.3

Some $- 1$ e $1$ .

$- 0$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$