Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Etapa 5

Deixe $u = 6 x + 3$ . Depois, $d u = 6 d x$ , então, $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 6 x + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $6 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $6$ e $0$ .

$6$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

Etapa 6

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $2$ .

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Etapa 9

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

Etapa 10

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 12.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

Etapa 12.2.3

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

Etapa 12.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

Etapa 12.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Etapa 12.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

Etapa 12.2.3.2.4

Divida $- 2 x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x + 3$ .

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$