Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} {(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})$ movendo $\frac{1}{x}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{x}$ e $\ln (1 + 5 e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 5 e^{x})}{lim_{x \to \infty} x}}$

Etapa 3.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Etapa 3.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + 5 e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + 5 e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + 5 e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 5 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \cdot 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.7

Combine $5$ e $\frac{1}{1 + 5 e^{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} e^{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.9

Combine $\frac{5}{1 + 5 e^{x}}$ e $e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{1 + 5 e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.10

Reordene os termos.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{1}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1} \cdot 1}$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

Etapa 4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{5 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

Etapa 5.1.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 5.1.3.2

Como a função $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $5$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $5$ removido.

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 5.1.3.2.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 5.1.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + 1}}$

Etapa 5.1.3.4

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 5.1.3.5

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

Etapa 5.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 e^{x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 5.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 5.3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 5.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 0}}$

Etapa 5.3.6

Some $5 e^{x}$ e $0$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

Etapa 5.4.2

Reescreva a expressão.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{5}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie o limite de $\frac{1}{5}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

Etapa 6.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{1}$

Etapa 6.2.2

Simplifique.

$e$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$