Cálculo Exemplos

${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

Etapa 1

Escreva ${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ como uma função.

$f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7} d x$

Etapa 4

Deixe $u = \frac{1}{2} x - 1$ . Depois, $d u = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \frac{1}{2} x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\frac{1}{2} x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x - 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{7} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int u^{7} (1 \cdot 2) d u$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int u^{7} \cdot 2 d u$

Etapa 5.3

Mova $2$ para a esquerda de $u^{7}$ .

$\int 2 u^{7} d u$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int u^{7} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ como $2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$ .

$2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} u^{8} + C$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} u^{8} + C$

Etapa 8.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

Etapa 8.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

Etapa 8.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} u^{8} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{2} x - 1$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$