Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t_{1}$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{t_{1}} e^{- s t} d t$

Etapa 2

Deixe $u = - s t$ . Depois, $d u = - s d t$ , então, $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = - s t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Etapa 2.1.2

Como $- s$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- s t$ em relação a $t$ é $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- s$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = - s t$ .

$u_{lower} = - s \cdot 0$

Etapa 2.3

Multiplique $- s \cdot 0$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$u_{lower} = 0 s$

Etapa 2.3.2

Multiplique $0$ por $s$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = - s t$ .

$u_{upper} = - s t_{1}$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - s t_{1}$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{s}$ e $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - \frac{e^{u}}{s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - \frac{e^{u}}{s} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \int_{0}^{- s t_{1}} \frac{e^{u}}{s} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{s}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{s}$ para fora da integral.

$lim_{t_{1} \to \infty} - (\frac{1}{s} \int_{0}^{- s t_{1}} e^{u} d u)$

Etapa 6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{1}{s} e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$

Etapa 7

Combine $e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$ e $\frac{1}{s}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}}{s}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $e^{u}$ em $- s t_{1}$ e em $0$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{(e^{- s t_{1}}) - e^{0}}{s}$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1 \cdot 1}{s}$

Etapa 8.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Etapa 9

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t_{1}$ .

$- lim_{t_{1} \to \infty} \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Etapa 9.1.2

Mova o termo $\frac{1}{s}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t_{1}$ .

$- \frac{1}{s} lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - 1$

Etapa 9.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t_{1}$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Etapa 9.2

Como o expoente $- s t_{1}$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- s t_{1}}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{s} (0 - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Etapa 9.3

Avalie o limite.

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Etapa 9.3.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t_{1}$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 9.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1)$

Etapa 9.3.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$

Etapa 9.3.2.3

Multiplique $- \frac{1}{s} \cdot - 1$ .

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Etapa 9.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{s}$

Etapa 9.3.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{s}$ por $1$ .

$\frac{1}{s}$