Cálculo Exemplos

$y = \frac{6 \sqrt[3]{x}}{5}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{6 x^{\frac{1}{3}}}{5}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{6 x^{\frac{1}{3}}}{5})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Como $\frac{6}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 4.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.9

Multiplique $\frac{6}{5}$ por $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{2}{3}}}{5 \cdot 3}$

Etapa 4.10

Multiplique.

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Etapa 4.10.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{2}{3}}}{15}$

Etapa 4.10.2

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{15 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.11

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 (2)}{15 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.12.1

Fatore $3$ de $15 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (2)}{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 4.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 4.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{5 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2}{5 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 x^{\frac{2}{3}}}$