Cálculo Exemplos

$\int_{- 7}^{0} (\frac{y}{7} + \sqrt{y + 8}) d y$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} + \sqrt{y + 8} d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Etapa 3

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} \int_{- 7}^{0} y d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Etapa 5

Deixe $u = y + 8$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = y + 8$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $y + 8$ .

$\frac{d}{d y} [y + 8]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 8$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [8]$

Etapa 5.1.4

Como $8$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $8$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = y + 8$ .

$u_{lower} = - 7 + 8$

Etapa 5.3

Some $- 7$ e $8$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = y + 8$ .

$u_{upper} = 0 + 8$

Etapa 5.5

Some $0$ e $8$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} \sqrt{u} d u$

Etapa 6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\frac{1}{2} y^{2}$ em $0$ e em $- 7$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

Etapa 8.2

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $8$ e em $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.3

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} \cdot 49) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.4

Multiplique $49$ por $- 1$ .

$\frac{1}{7} (0 - 49 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.5

Combine $- 49$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{7} (0 + \frac{- 49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.7

Subtraia $\frac{49}{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{7} (- \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.8

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{49}{2}$ .

$- \frac{49}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.9

Multiplique $7$ por $2$ .

$- \frac{49}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.10

Cancele o fator comum de $49$ e $14$ .

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Etapa 8.3.10.1

Fatore $7$ de $49$ .

$- \frac{7 (7)}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.10.2.1

Fatore $7$ de $14$ .

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{7}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.11

Combine $\frac{2}{3}$ e $8^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.12

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.13

Multiplique os expoentes em ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 8.3.13.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.13.2

Multiplique $3 (\frac{3}{2})$ .

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Etapa 8.3.13.2.1

Combine $3$ e $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.13.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.15

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.17

Some $2$ e $9$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.3.18

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 8.3.19

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 8.3.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

Etapa 8.3.21

Para escrever $- \frac{7}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

Etapa 8.3.22

Para escrever $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 8.3.23

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.23.1

Multiplique $\frac{7}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 8.3.23.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 8.3.23.3

Multiplique $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Etapa 8.3.23.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Etapa 8.3.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 7 \cdot 3 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Etapa 8.3.25

Multiplique $- 7$ por $3$ .

$\frac{- 21 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Etapa 8.3.26

Mova $2$ para a esquerda de $2^{\frac{11}{2}} - 2$ .

$\frac{- 21 + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $- 21$ como $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Etapa 9.2

Fatore $- 1$ de $2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)$ .

$\frac{- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

Etapa 9.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))$ .

$\frac{- 1 (21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

Etapa 9.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{21 - 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 10.2

Multiplique $- 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ .

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Etapa 10.2.1

Fatore o negativo.

$- \frac{21 - (2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 10.2.2

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$- \frac{21 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 10.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{21 - 2^{1 + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 10.2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 10.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2 + 11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 10.2.6

Some $2$ e $11$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Etapa 10.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} + 4}{6}$

Etapa 10.4

Some $21$ e $4$ .

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

Forma decimal:

$10.91827799 \dots$

Etapa 12