Cálculo Exemplos

$x \ln (x + 1)$

Etapa 1

Escreva $x \ln (x + 1)$ como uma função.

$f (x) = x \ln (x + 1)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x \ln (x + 1) d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x + 1)$ e $d v = x$ .

$\ln (x + 1) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (x + 1) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 5.2

Combine $\ln (x + 1)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 7

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Etapa 8

Divida $x^{2}$ por $x + 1$ .

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Etapa 8.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 8.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 8.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 8.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 8.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Etapa 8.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Etapa 8.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Etapa 8.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 8.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Etapa 8.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Etapa 8.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 12

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 12.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 12.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 13

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C)$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Etapa 14.2

Simplifique.

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Etapa 14.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (x + 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Etapa 14.2.2

Combine $\frac{\ln (x + 1)}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Etapa 14.2.3

Para escrever $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 14.2.4

Combine $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 14.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 14.2.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 14.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 14.2.8

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 14.2.9

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 14.2.9.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 14.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.2.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 14.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 14.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 14.2.9.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| x + 1 |))}{2} + C$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Para escrever $\ln (| x + 1 |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Etapa 16.2

Combine $\ln (| x + 1 |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Etapa 16.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Etapa 16.4

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| x + 1 |)$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2})}{2} + C$

Etapa 16.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Etapa 16.6

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 16.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + 1 x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Etapa 16.6.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x \ln (x + 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$