Cálculo Exemplos

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2} + 48$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2} + 48$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{2}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x + 0$

Etapa 1.5.2

Some $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 48$ .

$36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [48 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 96 x + 48 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$36 x^{2} - 96 x + 48 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $48$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 48$