Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{x^{2} + 2 x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 2 x}$ como ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 4.6

Combine frações.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 4.6.3

Mova ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \cdot 1)$

Etapa 4.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$

Etapa 4.12

Simplifique.

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Etapa 4.12.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12.2

Multiplique $2 x + 2$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 2}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12.3

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12.4

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12.5

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.12.6.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.12.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.12.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$