Cálculo Exemplos

$\frac{3 - 5 x}{2 x^{2} - 3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 - 5 x$ e $g (x) = 2 x^{2} - 3$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 - 5 x] - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [- 5 x] - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) (- 5 \frac{d}{d x} [x]) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) (- 5 \cdot 1) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) \cdot - 5 - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $2 x^{2} - 3$ .

$\frac{- 5 \cdot (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $4 x$ e $0$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (4 x)}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - 4 (3 - 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 3 - 4 (3 - 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 3 + (- 4 \cdot 3 - 4 (- 5 x)) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 3 - 4 \cdot 3 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 \cdot - 3 - 4 \cdot 3 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $- 5$ por $- 3$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 4 \cdot 3 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x - 4 (- 5 (x \cdot x))}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x - 4 (- 5 x^{2})}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5

Multiplique $- 5$ por $- 4$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x + 20 x^{2}}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Some $- 10 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 15 - 12 x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$\frac{10 x^{2} - 12 x + 15}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$