Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ é positivo.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.2

Combine $\frac{\tan (t)}{2}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ por $1$ .

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 2.2.5

Multiplique $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ por $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

Etapa 2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

Etapa 2.2.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.7.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.8

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Etapa 2.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.2.1

Fatore $\sec (t)$ de $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Etapa 2.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Etapa 2.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Etapa 2.2.9

Reescreva $\tan (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Etapa 2.2.10

Reescreva $\sec (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Etapa 2.2.11

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Etapa 2.2.12

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.12.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Etapa 2.2.12.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Etapa 2.2.13

Converta de $\frac{1}{\sin (t)}$ em $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Etapa 3

A integral de $\csc (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (2 x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$