Cálculo Exemplos

$lim_{r \to 0^{+}} - 11 (\frac{r}{3}) \ln (\frac{r}{5})$

Etapa 1

Mova o termo $- 11$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $r$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r}{3} \ln (\frac{r}{5})$

Etapa 2

Combine $\frac{r}{3}$ e $\ln (\frac{r}{5})$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \ln (\frac{r}{5})}{3}$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} r \ln (\frac{r}{5})$

Etapa 4

Reescreva $r \ln (\frac{r}{5})$ como $\frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{r \to 0^{+}} \ln (\frac{r}{5})}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Etapa 5.1.2

À medida que $r$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (\frac{r}{5})$ diminui sem limites.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Etapa 5.1.3

Como o numerador é uma constante e o denominador se aproxima de $0$ à medida que $r$ se aproxima de $0$ a partir da direita, a fração $\frac{1}{r}$ se aproxima do infinito.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 5.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}} = lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{5})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{5})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ é $f' (g (r)) g' (r)$ , em que $f (r) = \ln (r)$ e $g (r) = \frac{r}{5}$ .

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Etapa 5.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{r}{5}} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1 \frac{5}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3.4

Multiplique $\frac{5}{r}$ por $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3.5

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $\frac{r}{5}$ em relação a $r$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{r} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3.6

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{5}{r}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{5 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{5 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3.7.2

Reescreva a expressão.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \cdot 1}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3.9

Multiplique $\frac{1}{r}$ por $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Etapa 5.3.10

Reescreva $\frac{1}{r}$ como $r^{- 1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [r^{- 1}]}$

Etapa 5.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- r^{- 2}}$

Etapa 5.3.12

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- \frac{1}{r^{2}}}$

Etapa 5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \cdot - 1 r^{2}$

Etapa 5.5

Combine $\frac{1}{r}$ e $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r^{2}}{r}$

Etapa 5.6

Cancele o fator comum de $r^{2}$ e $r$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $r$ de $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r}$

Etapa 5.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.6.2.1

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r^{1}}$

Etapa 5.6.2.2

Fatore $r$ de $r^{1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Etapa 5.6.2.3

Cancele o fator comum.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Etapa 5.6.2.4

Reescreva a expressão.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r}{1}$

Etapa 5.6.2.5

Divida $r$ por $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - r$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Avalie o limite.

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Etapa 6.1.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot - 1 lim_{r \to 0^{+}} r$

Etapa 6.1.2

Avalie o limite de $r$ substituindo $0$ por $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot 0$

Etapa 6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.2.1

Combine $- 11$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 11}{3} \cdot 0$

Etapa 6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{11}{3} \cdot 0$

Etapa 6.2.3

Multiplique $- \frac{11}{3} \cdot 0$ .

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Etapa 6.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{11}{3})$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $0$ por $\frac{11}{3}$ .

$0$