Cálculo Exemplos

$y = x + \frac{1}{x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x + \frac{1}{x})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{1}{x}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = 1$ e $g (y) = x$ .

$x' + \frac{x \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

Etapa 3.3.4

Multiplique $x$ por $0$ .

$x' + \frac{0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x' + \frac{0 - x'}{x^{2}}$

Etapa 3.3.6

Subtraia $x'$ de $0$ .

$x' + \frac{- x'}{x^{2}}$

Etapa 3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' - \frac{x'}{x^{2}}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$- \frac{x'}{x^{2}} + x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = - \frac{x'}{x^{2}} + x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ .

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1, 1$

Etapa 5.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ por $x^{2}$ .

$- \frac{x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x'}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- x' + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- x' + x' x^{2} = x^{2}$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

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Etapa 5.4.1

Fatore $x'$ de $- x' + x' x^{2}$ .

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Etapa 5.4.1.1

Fatore $x'$ de $- x'$ .

$x' \cdot - 1 + x' x^{2} = x^{2}$

Etapa 5.4.1.2

Fatore $x'$ de $x' x^{2}$ .

$x' \cdot - 1 + x' (x^{2}) = x^{2}$

Etapa 5.4.1.3

Fatore $x'$ de $x' \cdot - 1 + x' (x^{2})$ .

$x' (- 1 + x^{2}) = x^{2}$

Etapa 5.4.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x' (- 1^{2} + x^{2}) = x^{2}$

Etapa 5.4.3

Reordene $- 1^{2}$ e $x^{2}$ .

$x' (x^{2} - 1^{2}) = x^{2}$

Etapa 5.4.4

Fatore.

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Etapa 5.4.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$x' ((x + 1) (x - 1)) = x^{2}$

Etapa 5.4.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$

Etapa 5.4.5

Divida cada termo em $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ por $(x + 1) (x - 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.5.1

Divida cada termo em $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.5.2.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 5.4.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.4.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.4.5.2.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 5.4.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.4.5.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$