Cálculo Exemplos

$\int (\frac{7 x^{6}}{x^{7} + 2}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int \frac{7 x^{6}}{x^{7} + 2} d x$

Etapa 2

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$7 \int \frac{x^{6}}{x^{7} + 2} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x^{7} + 2$ . Depois, $d u = 7 x^{6} d x$ , então, $\frac{1}{7} d u = x^{6} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x^{7} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{7} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} + 2]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{7} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 x^{6} + 0$

Etapa 3.1.5

Some $7 x^{6}$ e $0$ .

$7 x^{6}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$7 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{7} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{7}$ .

$7 \int \frac{1}{u \cdot 7} d u$

Etapa 4.2

Mova $7$ para a esquerda de $u$ .

$7 \int \frac{1}{7 u} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$7 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{7}$ e $7$ .

$\frac{7}{7} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{7} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6.3

Multiplique $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{7} + 2$ .

$\ln (| x^{7} + 2 |) + C$