Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de ${(x - 2)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o expoente $2$ de ${(x - 4)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.8

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.9.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(3 - 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.9.1.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.9.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.9.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1 - {(3 - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.9.1.5

Subtraia $4$ de $3$ .

$\frac{1 - {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.9.1.6

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.9.1.6.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.9.1.6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.9.1.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.9.1.6.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{3}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.9.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.2.9.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.3

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 2) - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.4.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.4.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.4.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.5

Reescreva ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - ((x - 4) (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.6

Expanda $(x - 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x (x - 4) - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.7.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.7.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.7.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.10

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 1.3.10.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.10.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.11

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.12

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ .

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Etapa 1.3.12.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x^{2} - 8 x + 16)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 8 x + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.12.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.12.4

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.12.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.12.6

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.12.7

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.12.8

Some $2 x - 8$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.13

Simplifique.

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Etapa 1.3.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.13.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.13.2.1

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.13.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.13.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.13.2.4

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.13.2.5

Subtraia $4$ de $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.13.2.6

Some $- 4$ e $8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 1.3.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.16

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + 0}$

Etapa 1.3.17

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1}$

Etapa 1.4

Divida $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} 4$

Etapa 2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$4$