Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} {(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})$ movendo $\frac{1}{x}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{x}$ e $\ln (1 + \arctan (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.4.1

Avalie o limite de $\arctan (x)$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + \arctan (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.4.2

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.5.1

Some $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.5.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + \arctan (x)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + \arctan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \arctan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \arctan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.7

Multiplique $\frac{1}{1 + \arctan (x)}$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{1}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})} \cdot 1}$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Etapa 4.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{1}{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Etapa 4.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

Etapa 4.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

Etapa 4.8

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $\arctan (x)$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{1}{(1 + \arctan (0)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Etapa 5.2

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + 0^{2})}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Some $1$ e $0$ .

$e^{\frac{1}{1 (1 + 0^{2})}}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $1 + 0^{2}$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0^{2}}}$

Etapa 6.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

Etapa 6.1.4

Some $1$ e $0$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Etapa 6.2

Divida $1$ por $1$ .

$e^{1}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$e$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$