Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 4.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Etapa 5.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sin^{2} (u_{1})$ .

$2 \int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 (2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 7

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 8

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$4 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 11

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 13

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 14

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 14.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 14.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 14.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 14.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 15

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 16

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 17

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Etapa 18

Simplifique.

$2 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 19

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 19.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Etapa 19.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Etapa 20

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Etapa 20.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (x)) + C$

Etapa 20.1.2

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Etapa 20.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Etapa 20.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.3.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Etapa 20.3.2

Reescreva a expressão.

$x + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Etapa 20.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sin (x)}{2}$ para o numerador.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Etapa 20.4.2

Cancele o fator comum.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Etapa 20.4.3

Reescreva a expressão.

$x - \sin (x) + C$

Etapa 21

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - \sin (x) + C$