Cálculo Exemplos

$- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- \frac{3}{20}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{20} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{20}) x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.5

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{- 15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.6

Combine $\frac{- 15}{20}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.7

Cancele o fator comum de $- 15$ e $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1

Fatore $5$ de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.2.1

Fatore $5$ de $20$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [11 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x^{3}$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 11 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 11 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $11$ .

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 33 x^{2}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3 x^{4}}{4} + 33 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $- \frac{3}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3 x^{4}}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.5

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.6

Combine $\frac{- 12}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.7

Cancele o fator comum de $- 12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.7.1

Fatore $4$ de $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.7.2.4

Divida $- 3 x^{3}$ por $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [33 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $33$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $33 x^{2}$ em relação a $x$ é $33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 33 (2 x)$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $2$ por $33$ .

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 66 x$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{3} + 66 x$ .

$- 3 x^{3} + 66 x$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{3} + 66 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{3} + 66 x = 0$

Etapa 3.2

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3} + 66 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 66 x = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $- 3 x$ de $66 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 22 = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 22)$ .

$- 3 x (x^{2} - 22) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 22 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x^{2} - 22$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $x^{2} - 22$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 22 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $x^{2} - 22 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Some $22$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 22$

Etapa 3.5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{22}$

Etapa 3.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{22}$

Etapa 3.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{22}$

Etapa 3.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{22}, - \sqrt{22}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 3 x (x^{2} - 22) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{22}, - \sqrt{22}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} + 11 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot 0 + 11 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- \frac{3}{20} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{3}{20}) + 11 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{3}{20}$ .

$f (0) = 0 + 11 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 11 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $11$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $\sqrt{22}$ em $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{22}$ na expressão.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot {(\sqrt{22})}^{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{22}}^{5}$ como $\sqrt{22^{5}}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{22^{5}} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $22$ à potência de $5$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{5153632} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva $5153632$ como $484^{2} \cdot 22$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Fatore $234256$ de $5153632$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{234256 (22)} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Reescreva $234256$ como $484^{2}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{484^{2} \cdot 22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{20}$ para o numerador.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.5.2

Fatore $4$ de $20$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.5.3

Fatore $4$ de $484 \sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.5.4

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.5.5

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{5} \cdot (121 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.6

Combine $121$ e $\frac{- 3}{5}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{121 \cdot - 3}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.7

Multiplique $121$ por $- 3$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.8

Combine $\frac{- 363}{5}$ e $\sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{22}}^{3}$ como $\sqrt{22^{3}}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{22^{3}}$

Etapa 4.3.2.1.11

Eleve $22$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{10648}$

Etapa 4.3.2.1.12

Reescreva $10648$ como $22^{2} \cdot 22$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.12.1

Fatore $484$ de $10648$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{484 (22)}$

Etapa 4.3.2.1.12.2

Reescreva $484$ como $22^{2}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{22^{2} \cdot 22}$

Etapa 4.3.2.1.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (22 \sqrt{22})$

Etapa 4.3.2.1.14

Multiplique $22$ por $11$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 242 \sqrt{22}$

Etapa 4.3.2.2

Para escrever $242 \sqrt{22}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 242 \sqrt{22} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 4.3.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Combine $242 \sqrt{22}$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + \frac{242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

Etapa 4.3.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22} + 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

Etapa 4.3.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Multiplique $5$ por $242$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22} + 1210 \sqrt{22}}{5}$

Etapa 4.3.2.4.2

Some $- 363 \sqrt{22}$ e $1210 \sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

Etapa 4.3.2.5

A resposta final é $\frac{847 \sqrt{22}}{5}$ .

$\frac{847 \sqrt{22}}{5}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $\sqrt{22}$ em $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ é $(\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

Etapa 4.5

Substitua $- \sqrt{22}$ em $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{22}$ na expressão.

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot {(- \sqrt{22})}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot ({(- 1)}^{5} {\sqrt{22}}^{5}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 (\frac{3}{20})) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{5}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{3}{20})) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.2.3

Some $5$ e $1$ .

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{6} (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$f (- \sqrt{22}) = 1 (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.4

Multiplique $\frac{3}{20}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.5

Reescreva ${\sqrt{22}}^{5}$ como $\sqrt{22^{5}}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{22^{5}} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.6

Eleve $22$ à potência de $5$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{5153632} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.7

Reescreva $5153632$ como $484^{2} \cdot 22$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.7.1

Fatore $234256$ de $5153632$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{234256 (22)} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.7.2

Reescreva $234256$ como $484^{2}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{484^{2} \cdot 22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.9

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.9.1

Fatore $4$ de $20$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 (5)} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.9.2

Fatore $4$ de $484 \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 (5)} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.9.3

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.9.4

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{5} \cdot (121 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.10

Combine $121$ e $\frac{3}{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{121 \cdot 3}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.11

Multiplique $121$ por $3$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.12

Combine $\frac{363}{5}$ e $\sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Etapa 4.5.2.1.13

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{22}}^{3})$

Etapa 4.5.2.1.14

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- {\sqrt{22}}^{3})$

Etapa 4.5.2.1.15

Reescreva ${\sqrt{22}}^{3}$ como $\sqrt{22^{3}}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{22^{3}})$

Etapa 4.5.2.1.16

Eleve $22$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{10648})$

Etapa 4.5.2.1.17

Reescreva $10648$ como $22^{2} \cdot 22$ .

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Etapa 4.5.2.1.17.1

Fatore $484$ de $10648$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{484 (22)})$

Etapa 4.5.2.1.17.2

Reescreva $484$ como $22^{2}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{22^{2} \cdot 22})$

Etapa 4.5.2.1.18

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- (22 \sqrt{22}))$

Etapa 4.5.2.1.19

Multiplique $22$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- 22 \sqrt{22})$

Etapa 4.5.2.1.20

Multiplique $- 22$ por $11$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} - 242 \sqrt{22}$

Etapa 4.5.2.2

Para escrever $- 242 \sqrt{22}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} - 242 \sqrt{22} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 4.5.2.3

Combine frações.

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Etapa 4.5.2.3.1

Combine $- 242 \sqrt{22}$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + \frac{- 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

Etapa 4.5.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22} - 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

Etapa 4.5.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.2.4.1

Multiplique $5$ por $- 242$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22} - 1210 \sqrt{22}}{5}$

Etapa 4.5.2.4.2

Subtraia $1210 \sqrt{22}$ de $363 \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{- 847 \sqrt{22}}{5}$

Etapa 4.5.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

Etapa 4.5.2.6

A resposta final é $- \frac{847 \sqrt{22}}{5}$ .

$- \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

Etapa 4.6

O ponto encontrado ao substituir $- \sqrt{22}$ em $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ é $(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

Etapa 4.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \sqrt{22}) \cup (- \sqrt{22}, 0) \cup (0, \sqrt{22}) \cup (\sqrt{22}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \sqrt{22})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 4.79041575$ na expressão.

$f'' (- 4.79041575) = - 3 {(- 4.79041575)}^{3} + 66 (- 4.79041575)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 4.79041575$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4.79041575) = - 3 \cdot - 109.93085918 + 66 (- 4.79041575)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 109.93085918$ .

$f'' (- 4.79041575) = 329.79257756 + 66 (- 4.79041575)$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $66$ por $- 4.79041575$ .

$f'' (- 4.79041575) = 329.79257756 - 316.16744014$

Etapa 6.2.2

Subtraia $316.16744014$ de $329.79257756$ .

$f'' (- 4.79041575) = 13.62513741$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $13.62513741$ .

$13.62513741$

Etapa 6.3

Em $- 4.79041575$ , a segunda derivada é $13.62513741$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - \sqrt{22})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \sqrt{22})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \sqrt{22}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.34520787$ na expressão.

$f'' (- 2.34520787) = - 3 {(- 2.34520787)}^{3} + 66 (- 2.34520787)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 2.34520787$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2.34520787) = - 3 \cdot - 12.89864333 + 66 (- 2.34520787)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 12.89864333$ .

$f'' (- 2.34520787) = 38.69593001 + 66 (- 2.34520787)$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $66$ por $- 2.34520787$ .

$f'' (- 2.34520787) = 38.69593001 - 154.78372007$

Etapa 7.2.2

Subtraia $154.78372007$ de $38.69593001$ .

$f'' (- 2.34520787) = - 116.08779005$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 116.08779005$ .

$- 116.08779005$

Etapa 7.3

Em $- 2.34520787$ , a segunda derivada é $- 116.08779005$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \sqrt{22}, 0)$ .

Decréscimo em $(- \sqrt{22}, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \sqrt{22})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2.34520787$ na expressão.

$f'' (2.34520787) = - 3 {(2.34520787)}^{3} + 66 (2.34520787)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $2.34520787$ à potência de $3$ .

$f'' (2.34520787) = - 3 \cdot 12.89864333 + 66 (2.34520787)$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $12.89864333$ .

$f'' (2.34520787) = - 38.69593001 + 66 (2.34520787)$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $66$ por $2.34520787$ .

$f'' (2.34520787) = - 38.69593001 + 154.78372007$

Etapa 8.2.2

Some $- 38.69593001$ e $154.78372007$ .

$f'' (2.34520787) = 116.08779005$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $116.08779005$ .

$116.08779005$

Etapa 8.3

Em $2.34520787$ , a segunda derivada é $116.08779005$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \sqrt{22})$ .

Acréscimo em $(0, \sqrt{22})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(\sqrt{22}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $4.79041575$ na expressão.

$f'' (4.79041575) = - 3 {(4.79041575)}^{3} + 66 (4.79041575)$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

Eleve $4.79041575$ à potência de $3$ .

$f'' (4.79041575) = - 3 \cdot 109.93085918 + 66 (4.79041575)$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $109.93085918$ .

$f'' (4.79041575) = - 329.79257756 + 66 (4.79041575)$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $66$ por $4.79041575$ .

$f'' (4.79041575) = - 329.79257756 + 316.16744014$

Etapa 9.2.2

Some $- 329.79257756$ e $316.16744014$ .

$f'' (4.79041575) = - 13.62513741$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $- 13.62513741$ .

$- 13.62513741$

Etapa 9.3

Em $4.79041575$ , a segunda derivada é $- 13.62513741$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\sqrt{22}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\sqrt{22}, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 10

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ .

$(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

Etapa 11