Cálculo Exemplos

$y = x^{3} {(2 x - 5)}^{4}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(2 x - 5)}^{4})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = {(2 x - 5)}^{4}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}] + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 x - 5$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 5$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 5$ .

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x^{3} (8 {(2 x - 5)}^{3}) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} (8 {(2 x - 5)}^{3}) + {(2 x - 5)}^{4} (3 x^{2})$

Etapa 3.3.8

Mova $3$ para a esquerda de ${(2 x - 5)}^{4}$ .

$x^{3} (8 {(2 x - 5)}^{3}) + 3 \cdot {(2 x - 5)}^{4} x^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Fatore $x^{2} {(2 x - 5)}^{3}$ de $x^{3} (8 {(2 x - 5)}^{3}) + 3 {(2 x - 5)}^{4} x^{2}$ .

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Etapa 3.4.1.1

Fatore $x^{2} {(2 x - 5)}^{3}$ de $x^{3} (8 {(2 x - 5)}^{3})$ .

$x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (x \cdot (8)) + 3 {(2 x - 5)}^{4} x^{2}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $x^{2} {(2 x - 5)}^{3}$ de $3 {(2 x - 5)}^{4} x^{2}$ .

$x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (x \cdot (8)) + x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (3 (2 x - 5))$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $x^{2} {(2 x - 5)}^{3}$ de $x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (x \cdot (8)) + x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (3 (2 x - 5))$ .

$x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (x \cdot (8) + 3 (2 x - 5))$

Etapa 3.4.2

Mova $8$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (8 x + 3 (2 x - 5))$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (8 x + 3 (2 x - 5))$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (8 x + 3 (2 x - 5))$