Cálculo Exemplos

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (a^{3} y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (2 a^{2} - x^{2}))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Como $a^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a^{3} y$ em relação a $x$ é $a^{3} \frac{d}{d x} [y]$ .

$a^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$a^{3} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 a^{2} - x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 a^{2} - x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 a^{2} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.2

Como $2 a^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 a^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (- (2 x)) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} (- 2 x) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.3

Some $1$ e $2$ .

$x^{3} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$- 2 \cdot x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) (2 x)$

Etapa 3.6

Mova $2$ para a esquerda de $2 a^{2} - x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 2 \cdot (2 a^{2} - x^{2}) x$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{3} + (2 (2 a^{2}) + 2 (- x^{2})) x$

Etapa 3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{3} + 2 (2 a^{2}) x + 2 (- x^{2}) x$

Etapa 3.7.3

Combine os termos.

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Etapa 3.7.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x + 2 (- x^{2}) x$

Etapa 3.7.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{2} x$

Etapa 3.7.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 (x^{1} x^{2})$

Etapa 3.7.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{1 + 2}$

Etapa 3.7.3.5

Some $1$ e $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{3}$

Etapa 3.7.3.6

Subtraia $2 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

Etapa 5

Divida cada termo em $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ por $a^{3}$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ por $a^{3}$ .

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $a^{3}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Etapa 5.3.1.2

Cancele o fator comum de $a^{2}$ e $a^{3}$ .

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Etapa 5.3.1.2.1

Fatore $a^{2}$ de $4 a^{2} x$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{3}}$

Etapa 5.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.1.2.2.1

Fatore $a^{2}$ de $a^{3}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

Etapa 5.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

Etapa 5.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$