Cálculo Exemplos

$y = 4 arccoth (4 x - 8)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 arccoth (4 x - 8))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 arccoth (4 x - 8)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [arccoth (4 x - 8)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [arccoth (4 x - 8)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = arccoth (x)$ e $g (x) = 4 x - 8$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x - 8$ .

$4 (\frac{d}{d u} [arccoth (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 8])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $arccoth (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 - u^{2}}$ .

$4 (\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 8])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 8$ .

$4 (\frac{1}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 8])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Combine $\frac{1}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$ e $4$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 8]$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 3.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 3.3.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 3.3.6

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 + 0)$

Etapa 3.3.7

Combine frações.

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Etapa 3.3.7.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} \cdot 4$

Etapa 3.3.7.2

Combine $\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$ e $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.7.3.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{16}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.7.3.2

Reordene os termos.

$\frac{16}{- {(4 x - 8)}^{2} + 1}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{16}{- {(4 x - 8)}^{2} + 1}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{16}{- {(4 x - 8)}^{2} + 1}$