Cálculo Exemplos

$y = \frac{e^{x}}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x - e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.6.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.6.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.6.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 2.6.2.2

Fatore $x$ de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

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Etapa 2.6.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 2.6.2.2.2

Fatore $x$ de $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Etapa 2.6.2.2.3

Fatore $x$ de $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Etapa 2.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.7.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.7.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.7.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Etapa 2.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.4.1

Combine os termos opostos em $x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.8.4.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x e^{x}$ e $x (- 1 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4.1.2

Subtraia $e^{x} x$ de $e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4.1.3

Some $x (x e^{x})$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.4.2.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.8.4.2.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.8.4.3

Reordene os fatores em $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.8.5

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 2.8.6

Reordene os fatores em $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 4.1.4.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Etapa 4.1.4.2.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 4.1.4.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Etapa 4.1.4.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$e^{x} (x - 1) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 5.3.2.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 5.3.2.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.3.2.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.3.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

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Etapa 6.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{{(1)}^{2} e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $e^{1}$ por $1$ .

$\frac{e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Etapa 9.1.3

Simplifique.

$\frac{e - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{e - 2 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Etapa 9.1.5

Simplifique.

$\frac{e - 2 e + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Etapa 9.1.6

Simplifique.

$\frac{e - 2 e + 2 e}{1^{3}}$

Etapa 9.1.7

Subtraia $2 e$ de $e$ .

$\frac{- e + 2 e}{1^{3}}$

Etapa 9.1.8

Some $- e$ e $2 e$ .

$\frac{e}{1^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{e}{1}$

Etapa 9.2.2

Divida $e$ por $1$ .

$e$

Etapa 10

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Divida $e^{1}$ por $1$ .

$f (1) = e$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $e$ .

$y = e$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .

$(1, e)$ é um mínimo local

Etapa 13