Cálculo Exemplos

$\frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} + 9 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} + 9 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} + 9 x^{3}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} + 9 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $\frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{10} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $\frac{5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $5$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.5.1

Fatore $5$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.5.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{4}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{2} + 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

Etapa 2.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{3}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + 9 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.1.4.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + 27 x^{2}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + 27 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{4}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [27 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27 x^{2}$ em relação a $x$ é $27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 27 (2 x)$

Etapa 2.1.2.4.3

Multiplique $2$ por $27$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} + 24 x^{2} + 54 x$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x^{3} + 24 x^{2} + 54 x$ .

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 54 x$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x^{3} + 24 x^{2} + 54 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 54 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3} + 24 x^{2} + 54 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 54 x = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore $2 x$ de $24 x^{2}$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (12 x) + 54 x = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore $2 x$ de $54 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (12 x) + 2 x (27) = 0$

Etapa 2.2.2.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (12 x)$ .

$2 x (x^{2} + 12 x) + 2 x (27) = 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2} + 12 x) + 2 x (27)$ .

$2 x (x^{2} + 12 x + 27) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Fatore $x^{2} + 12 x + 27$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $27$ e cuja soma é $12$ .

$3, 9$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 x ((x + 3) (x + 9)) = 0$

Etapa 2.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x (x + 3) (x + 9) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 9 = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.2.6

Defina $x + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Defina $x + 9$ como igual a $0$ .

$x + 9 = 0$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x = - 9$

Etapa 2.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x + 3) (x + 9) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3, - 9$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 9)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 12$ na expressão.

$f'' (- 12) = 2 {(- 12)}^{3} + 24 {(- 12)}^{2} + 54 (- 12)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $3$ .

$f'' (- 12) = 2 \cdot - 1728 + 24 {(- 12)}^{2} + 54 (- 12)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1728$ .

$f'' (- 12) = - 3456 + 24 {(- 12)}^{2} + 54 (- 12)$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$f'' (- 12) = - 3456 + 24 \cdot 144 + 54 (- 12)$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $24$ por $144$ .

$f'' (- 12) = - 3456 + 3456 + 54 (- 12)$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $54$ por $- 12$ .

$f'' (- 12) = - 3456 + 3456 - 648$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $- 3456$ e $3456$ .

$f'' (- 12) = 0 - 648$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $648$ de $0$ .

$f'' (- 12) = - 648$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 648$ .

$- 648$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 9)$ porque $f'' (- 12)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 9)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 9, - 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = 2 {(- 6)}^{3} + 24 {(- 6)}^{2} + 54 (- 6)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = 2 \cdot - 216 + 24 {(- 6)}^{2} + 54 (- 6)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 216$ .

$f'' (- 6) = - 432 + 24 {(- 6)}^{2} + 54 (- 6)$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = - 432 + 24 \cdot 36 + 54 (- 6)$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $24$ por $36$ .

$f'' (- 6) = - 432 + 864 + 54 (- 6)$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $54$ por $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 432 + 864 - 324$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 432$ e $864$ .

$f'' (- 6) = 432 - 324$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $324$ de $432$ .

$f'' (- 6) = 108$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $108$ .

$108$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 9, - 3)$ porque $f'' (- 6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 9, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(- 3, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 54 (- 2)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = 2 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 54 (- 2)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 16 + 24 {(- 2)}^{2} + 54 (- 2)$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = - 16 + 24 \cdot 4 + 54 (- 2)$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $24$ por $4$ .

$f'' (- 2) = - 16 + 96 + 54 (- 2)$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $54$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 16 + 96 - 108$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $- 16$ e $96$ .

$f'' (- 2) = 80 - 108$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $108$ de $80$ .

$f'' (- 2) = - 28$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 28$ .

$- 28$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 3, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 3, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = 2 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2} + 54 (2)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f'' (2) = 2 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2} + 54 (2)$

Etapa 8.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (2) = 2^{1 + 3} + 24 {(2)}^{2} + 54 (2)$

Etapa 8.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f'' (2) = 2^{4} + 24 {(2)}^{2} + 54 (2)$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (2) = 16 + 24 {(2)}^{2} + 54 (2)$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = 16 + 24 \cdot 4 + 54 (2)$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $24$ por $4$ .

$f'' (2) = 16 + 96 + 54 (2)$

Etapa 8.2.1.5

Multiplique $54$ por $2$ .

$f'' (2) = 16 + 96 + 108$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some $16$ e $96$ .

$f'' (2) = 112 + 108$

Etapa 8.2.2.2

Some $112$ e $108$ .

$f'' (2) = 220$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $220$ .

$220$

Etapa 8.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 9)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 9, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 3, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 10