Cálculo Exemplos

$\ln (\frac{2 x - 1}{x - 1})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{2 x - 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

$1 \frac{x - 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Etapa 3

Multiplique $\frac{x - 1}{2 x - 1}$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x - 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.6.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 \cdot (x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.10

Combine frações.

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Etapa 5.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.10.3

Multiplique $\frac{x - 1}{2 x - 1}$ por $\frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(2 x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $x - 1$ de $(2 x - 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(x - 1) ((2 x - 1) (x - 1))}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(x - 1) ((2 x - 1) (x - 1))}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (2 x - 1)}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (2 x) - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - (2 x) - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Etapa 7.3.2

Combine os termos opostos em $2 x - 2 - 2 x + 1$ .

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Etapa 7.3.2.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 - 2 + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Etapa 7.3.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{- 2 + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Etapa 7.3.3

Some $- 2$ e $1$ .

$\frac{- 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Etapa 7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{(2 x - 1) (x - 1)}$