Cálculo Exemplos

$\frac{\sin (x^{2})}{3 x}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\sin (x^{2})}{3 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (x^{2})$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (x^{2}) (2 x)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 8.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (x^{2})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 10.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{3 x^{2}}$

Etapa 10.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{2} \cos (x^{2}) - \sin (x^{2})}{3 x^{2}}$