Cálculo Exemplos

$x + 2 x y - y^{2} = 2$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x + 2 x y - y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 x y - y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$x' + 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$x' + 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x' + 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$x' + 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x' + 2 (x + y x') - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x' + 2 (x + y x') - (2 y)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x' + 2 (x + y x') - 2 y$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x' + 2 x + 2 (y x') - 2 y$

Etapa 2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x' + 2 x + 2 y x' - 2 y$

Etapa 2.5.3

Reordene os termos.

$2 y x' + 2 x - 2 y + x'$

Etapa 3

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y x' + 2 x - 2 y + x' = 0$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 y x' - 2 y + x' = - 2 x$

Etapa 5.1.2

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$2 y x' + x' = - 2 x + 2 y$

Etapa 5.2

Fatore $x'$ de $2 y x' + x'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x'$ de $2 y x'$ .

$x' (2 y) + x' = - 2 x + 2 y$

Etapa 5.2.2

Eleve $x'$ à potência de $1$ .

$x' (2 y) + x' = - 2 x + 2 y$

Etapa 5.2.3

Fatore $x'$ de ${x'}^{1}$ .

$x' (2 y) + x' \cdot 1 = - 2 x + 2 y$

Etapa 5.2.4

Fatore $x'$ de $x' (2 y) + x' \cdot 1$ .

$x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$ por $2 y + 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$ por $2 y + 1$ .

$\frac{x' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 y + 1$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{- 2 x + 2 y}{2 y + 1}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $2$ de $- 2 x + 2 y$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$x' = \frac{2 (- x) + 2 y}{2 y + 1}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $2$ de $2 y$ .

$x' = \frac{2 (- x) + 2 (y)}{2 y + 1}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (y)$ .

$x' = \frac{2 (- x + y)}{2 y + 1}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$x' = \frac{2 (- (x) + y)}{2 y + 1}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $y$ .

$x' = \frac{2 (- (x) - 1 (- y))}{2 y + 1}$

Etapa 5.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- y)$ .

$x' = \frac{2 (- (x - y))}{2 y + 1}$

Etapa 5.3.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.6.1

Reescreva $- (x - y)$ como $- 1 (x - y)$ .

$x' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{2 y + 1}$

Etapa 5.3.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{2 (x - y)}{2 y + 1}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 (x - y)}{2 y + 1}$