Cálculo Exemplos

$x - \frac{1}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Etapa 1.2.6

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Etapa 1.2.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0$

Etapa 1.2.8

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$1 + x^{- 2}$

Etapa 1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x^{2}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.8

Subtraia $4$ de $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x^{- 3} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} + 0$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{3}} + 0$

Etapa 2.4.2.3

Some $- \frac{2}{x^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$