Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2}{x}$ at $(5, \frac{2}{5})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 5$ e $y = \frac{2}{5}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Etapa 1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2

Combine os termos.

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Etapa 1.5.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = 5$ .

$- \frac{2}{{(5)}^{2}}$

Etapa 1.7

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- \frac{2}{25}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{2}{25}$ e um ponto determinado $(5, \frac{2}{5})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{2}{5}) = - \frac{2}{25} \cdot (x - (5))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{2}{25} \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{2}{25} \cdot (x - 5)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{2}{5} = 0 + 0 - \frac{2}{25} \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{2}{25} x - \frac{2}{25} \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{2}{25}$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} - \frac{2}{25} \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.3.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{25}$ para o numerador.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{25} \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.2.3.2

Fatore $5$ de $25$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5 (5)} \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.2.3.3

Fatore $5$ de $- 5$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3.4

Cancele o fator comum.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3.5

Reescreva a expressão.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.2.4

Combine $\frac{- 2}{5}$ e $- 1$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2 \cdot - 1}{5}$

Etapa 2.3.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{5}$

Etapa 2.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{5}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{2}{5}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5}$

Etapa 2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 2 x}{25} + \frac{2 + 2}{5}$

Etapa 2.3.2.3

Some $2$ e $2$ .

$y = \frac{- 2 x}{25} + \frac{4}{5}$

Etapa 2.3.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{4}{5}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{2}{25} x) + \frac{4}{5}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{2}{25} x + \frac{4}{5}$

Etapa 3