Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$0 + \frac{1}{3} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Etapa 1.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{5}{3} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{5}{3}$ e $x^{4}$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{3} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - 2 (\frac{1}{3}) x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Etapa 1.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{- 2}{3} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Etapa 1.3.5

Combine $\frac{- 2}{3}$ e $x$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Etapa 1.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $\frac{5}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{9} x$ em relação a $x$ é $\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9} \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $\frac{5}{9}$ por $1$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$

Etapa 1.5

Some $0$ e $\frac{5 x^{4}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{5}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x^{4}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Etapa 2.2.3

Combine $4$ e $\frac{5}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{20}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $\frac{5}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{9}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $\frac{20}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{20 x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{20}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 3.2.3

Combine $3$ e $\frac{20}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $3$ por $20$ .

$\frac{60}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 3.2.5

Combine $\frac{60}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{60 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 3.2.6

Cancele o fator comum de $60$ e $3$ .

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Etapa 3.2.6.1

Fatore $3$ de $60 x^{2}$ .

$\frac{3 (20 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 3.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (20 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 3.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (20 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 3.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{20 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 3.2.6.2.4

Divida $20 x^{2}$ por $1$ .

$20 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 x^{2} + 0$

Etapa 3.3.2

Some $20 x^{2}$ e $0$ .

$f''' (x) = 20 x^{2}$