Cálculo Exemplos

$\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Etapa 4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 4.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$

Etapa 4.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Etapa 4.1.4.2

Divida $4 x - 1$ por $1$ .

$4 x - 1 = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Etapa 4.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum de ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 4.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$4 x - 1 = \frac{A {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Etapa 4.1.5.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Etapa 4.1.5.2

Cancele o fator comum de ${(2 x - 1)}^{2}$ e $2 x - 1$ .

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Etapa 4.1.5.2.1

Fatore $2 x - 1$ de $(B) {(2 x - 1)}^{2}$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Etapa 4.1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.5.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$4 x - 1 = A + \frac{B (2 x - 1)}{1}$

Etapa 4.1.5.2.2.4

Divida $B (2 x - 1)$ por $1$ .

$4 x - 1 = A + B (2 x - 1)$

Etapa 4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x - 1 = A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Etapa 4.1.5.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x - 1 = A + 2 B x + B \cdot - 1$

Etapa 4.1.5.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - 1 \cdot B$

Etapa 4.1.5.6

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - B$

Etapa 4.1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.6.1

Mova $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 x B - B$

Etapa 4.1.6.2

Reordene $A$ e $2 x B$ .

$4 x - 1 = 2 x B + A - B$

Etapa 4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = 2 B$

Etapa 4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = A - 1 B$

Etapa 4.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

Etapa 4.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.3.1

Resolva $B$ em $4 = 2 B$ .

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva a equação como $2 B = 4$ .

$2 B = 4$

$- 1 = A - 1 B$

Etapa 4.3.1.2

Divida cada termo em $2 B = 4$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1.2.1

Divida cada termo em $2 B = 4$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Etapa 4.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Etapa 4.3.1.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Etapa 4.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1.2.3.1

Divida $4$ por $2$ .

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

Etapa 4.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 4.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 1 = A - 1 B$ por $2$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 2$

$B = 2$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

Etapa 4.3.3

Resolva $A$ em $- 1 = A - 2$ .

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Etapa 4.3.3.1

Reescreva a equação como $A - 2 = - 1$ .

$A - 2 = - 1$

$B = 2$

Etapa 4.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$A = - 1 + 2$

$B = 2$

Etapa 4.3.3.2.2

Some $- 1$ e $2$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Etapa 4.3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = 1 B = 2$

Etapa 4.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 1, B = 2$

Etapa 4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1}$

Etapa 4.5

Remova o zero da expressão.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Etapa 6

Deixe $u_{1} = 2 x - 1$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{1} = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 6.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 6.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Etapa 7.2

Mova $2$ para a esquerda de ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Etapa 9

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 9.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Etapa 9.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 9.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Etapa 9.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Etapa 11

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Etapa 12

Deixe $u_{2} = 2 x - 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u_{2} = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 12.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 12.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 12.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 13.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 15.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 15.3

Multiplique $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 16

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 17.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2 u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 18

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 18.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 18.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$

Etapa 19

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$