Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x^{2}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $18$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Etapa 1.4.2

Some $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ e $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{2}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $36$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x^{2}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $18$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $4 x$ de $24 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 36 x = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $4 x$ de $36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 4 x (9) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (6 x)$ .

$4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9)$ .

$4 x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$4 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Etapa 5.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

$4 x {(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva ${(x + 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.5.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x {(x + 3)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} + 48 (0) + 36$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 + 48 (0) + 36$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 48 (0) + 36$

Etapa 9.1.3

Multiplique $48$ por $0$ .

$0 + 0 + 36$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 36$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $36$ .

$36$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

Etapa 11.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

Etapa 11.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 18 \cdot 0 + 4$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $18$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 4$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 4$

Etapa 11.2.2.3

Some $0$ e $4$ .

$f (0) = 4$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 3)}^{2} + 48 (- 3) + 36$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 9 + 48 (- 3) + 36$

Etapa 13.1.2

Multiplique $12$ por $9$ .

$108 + 48 (- 3) + 36$

Etapa 13.1.3

Multiplique $48$ por $- 3$ .

$108 - 144 + 36$

Etapa 13.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $144$ de $108$ .

$- 36 + 36$

Etapa 13.2.2

Some $- 36$ e $36$ .

$0$

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 6$ , do intervalo $(- \infty, - 3)$ na primeira derivada $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Etapa 14.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 216$ .

$f' (- 6) = - 864 + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Etapa 14.2.2.1.3

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f' (- 6) = - 864 + 24 \cdot 36 + 36 (- 6)$

Etapa 14.2.2.1.4

Multiplique $24$ por $36$ .

$f' (- 6) = - 864 + 864 + 36 (- 6)$

Etapa 14.2.2.1.5

Multiplique $36$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = - 864 + 864 - 216$

Etapa 14.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.2.1

Some $- 864$ e $864$ .

$f' (- 6) = 0 - 216$

Etapa 14.2.2.2.2

Subtraia $216$ de $0$ .

$f' (- 6) = - 216$

Etapa 14.2.2.3

A resposta final é $- 216$ .

$- 216$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- 3, 0)$ na primeira derivada $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

Etapa 14.3.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

Etapa 14.3.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 24 \cdot 4 + 36 (- 2)$

Etapa 14.3.2.1.4

Multiplique $24$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 32 + 96 + 36 (- 2)$

Etapa 14.3.2.1.5

Multiplique $36$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 96 - 72$

Etapa 14.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.1

Some $- 32$ e $96$ .

$f' (- 2) = 64 - 72$

Etapa 14.3.2.2.2

Subtraia $72$ de $64$ .

$f' (- 2) = - 8$

Etapa 14.3.2.3

A resposta final é $- 8$ .

$- 8$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

Etapa 14.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32 + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

Etapa 14.4.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 32 + 24 \cdot 4 + 36 (2)$

Etapa 14.4.2.1.4

Multiplique $24$ por $4$ .

$f' (2) = 32 + 96 + 36 (2)$

Etapa 14.4.2.1.5

Multiplique $36$ por $2$ .

$f' (2) = 32 + 96 + 72$

Etapa 14.4.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.2.1

Some $32$ e $96$ .

$f' (2) = 128 + 72$

Etapa 14.4.2.2.2

Some $128$ e $72$ .

$f' (2) = 200$

Etapa 14.4.2.3

A resposta final é $200$ .

$200$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = - 3$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 15