Cálculo Exemplos

$\int e^{2 x} \sin (x) d x$

Etapa 1

Reordene $e^{2 x}$ e $\sin (x)$ .

$\int \sin (x) e^{2 x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Etapa 4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Etapa 4.2

Combine $\sin (x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Etapa 4.3

Reordene $e^{2 x}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2} \cdot - 1$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2} \cdot - 1$ para fora da integral.

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Etapa 7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Etapa 7.2

Combine $\cos (x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Etapa 7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Etapa 7.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Etapa 7.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 7.6.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 7.7

Multiplique $\frac{- 1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Etapa 7.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ , descobrimos que $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{5}{4}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 9.1.2

Reescreva $(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ como $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ .

$(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 9.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (x)$ .

$(\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 9.1.3.2

Combine $\frac{\sin (x)}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 9.1.3.3

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{4}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 9.1.3.4

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{\cos (x)}{4}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 9.1.4

Reordene os fatores em $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$ como $(\frac{e^{2 x} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ .

$(\frac{e^{2 x} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 9.3

Reordene os fatores em $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ .

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$