Cálculo Exemplos

$\int 2 \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = \sin (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = \sin (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 2.1.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \sqrt[3]{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 3

Combine $\sqrt[3]{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sqrt[3]{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 5.1.3

Multiplique $\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (2 x)$ .

$\frac{3}{4} {\sin (2 x)}^{\frac{4}{3}} + C$