Cálculo Exemplos

$A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $300$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $300 t e^{- 2.5 t}$ em relação a $t$ é $300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ .

$300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}] + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 2.5 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2.5 t$ .

$300 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$300 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2.5 t$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 2.5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2.5 t$ em relação a $t$ é $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} [t])) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Multiplique $- 2.5$ por $1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4.3.2

Mova $- 2.5$ para a esquerda de $e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1)$

Etapa 1.4.5

Multiplique $e^{- 2.5 t}$ por $1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) + 300 e^{- 2.5 t}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 2.5$ por $300$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$

Etapa 1.5.4

Reordene os fatores em $- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [- 750 t e^{- 2.5 t}] + \frac{d}{d t} [300 e^{- 2.5 t}]$ .

$A'' (t) = \frac{d}{d t} (- 750 t e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- 750 t e^{- 2.5 t}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 750$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 750 t e^{- 2.5 t}$ em relação a $t$ é $- 750 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ .

$A'' (t) = - 750 \frac{d}{d t} (t e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = - 750 (t \frac{d}{d t} (e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 2.5 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.2.4

Como $- 2.5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2.5 t$ em relação a $t$ é $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 2.5$ por $1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.2.8

Mova $- 2.5$ para a esquerda de $e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.2.9

Multiplique $e^{- 2.5 t}$ por $1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d t} [300 e^{- 2.5 t}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $300$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $300 e^{- 2.5 t}$ em relação a $t$ é $300 \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}]$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 \frac{d}{d t} (e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 2.5 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

Etapa 2.3.3

Como $- 2.5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2.5 t$ em relação a $t$ é $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} t))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 2.5$ por $1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5)$

Etapa 2.3.6

Mova $- 2.5$ para a esquerda de $e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t})$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 2.5$ por $300$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) - 750 e^{- 2.5 t}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) - 750 e^{- 2.5 t} - 750 e^{- 2.5 t}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 2.5$ por $- 750$ .

$A'' (t) = 1875 (t (e^{- 2.5 t})) - 750 e^{- 2.5 t} - 750 e^{- 2.5 t}$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $750 e^{- 2.5 t}$ de $- 750 e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = 1875 t e^{- 2.5 t} - 1500 e^{- 2.5 t}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$A'' (t) = 1875 e^{- 2.5 t} t - 1500 e^{- 2.5 t}$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $1875 e^{- 2.5 t} t - 1500 e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = 1875 t e^{- 2.5 t} - 1500 e^{- 2.5 t}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $300$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $300 t e^{- 2.5 t}$ em relação a $t$ é $300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ .

$300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}] + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 2.5 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2.5 t$ .

$300 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$300 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2.5 t$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 2.5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2.5 t$ em relação a $t$ é $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} [t])) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.1.4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.3.1

Multiplique $- 2.5$ por $1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.1.4.3.2

Mova $- 2.5$ para a esquerda de $e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1)$

Etapa 4.1.4.5

Multiplique $e^{- 2.5 t}$ por $1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t})$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) + 300 e^{- 2.5 t}$

Etapa 4.1.5.2

Multiplique $- 2.5$ por $300$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Etapa 4.1.5.3

Reordene os termos.

$- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$

Etapa 4.1.5.4

Reordene os fatores em $- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$ .

$f' (t) = - 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $A (t)$ com relação a $t$ é $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $150 e^{- 2.5 t}$ de $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $150 e^{- 2.5 t}$ de $- 750 t e^{- 2.5 t}$ .

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $150 e^{- 2.5 t}$ de $300 e^{- 2.5 t}$ .

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 150 e^{- 2.5 t} (2) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $150 e^{- 2.5 t}$ de $150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 150 e^{- 2.5 t} (2)$ .

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t + 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- 2.5 t} = 0$

$- 5 t + 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{- 2.5 t}$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $e^{- 2.5 t}$ como igual a $0$ .

$e^{- 2.5 t} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{- 2.5 t} = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 2.5 t}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- 2.5 t} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

Defina $- 5 t + 2$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $- 5 t + 2$ como igual a $0$ .

$- 5 t + 2 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $- 5 t + 2 = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 5 t = - 2$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $- 5 t = - 2$ por $- 5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 5 t = - 2$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{- 2}{- 5}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$t = \frac{2}{5}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $150 e^{- 2.5 t} (- 5 t + 2) = 0$ verdadeiro.

$t = \frac{2}{5}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$t = \frac{2}{5}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $t = \frac{2}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$1875 (\frac{2}{5}) e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Fatore $5$ de $1875$ .

$5 (375) \frac{2}{5} e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 375 \frac{2}{5} e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva a expressão.

$375 \cdot 2 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $375$ por $2$ .

$750 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum de $2.5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Fatore $2.5$ de $- 2.5$ .

$750 e^{2.5 (- 1) \frac{2}{5}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.3.2

Fatore $2.5$ de $5$ .

$750 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.3.3

Cancele o fator comum.

$750 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.3.4

Reescreva a expressão.

$750 e^{- 1 (\frac{2}{2})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Cancele o fator comum.

$750 e^{- 1 (\frac{2}{2})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.4.2

Reescreva a expressão.

$750 e^{- 1 \cdot 1} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$750 e^{- 1} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$750 \frac{1}{e} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.7

Combine $750$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{750}{e} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.8

Substitua $e$ por uma aproximação.

$\frac{750}{2.71828182} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.9

Divida $750$ por $2.71828182$ .

$275.90958087 - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 9.1.10

Cancele o fator comum de $2.5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.10.1

Fatore $2.5$ de $- 2.5$ .

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 (- 1) \frac{2}{5}}$

Etapa 9.1.10.2

Fatore $2.5$ de $5$ .

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}}$

Etapa 9.1.10.3

Cancele o fator comum.

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}}$

Etapa 9.1.10.4

Reescreva a expressão.

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Etapa 9.1.11

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.11.1

Cancele o fator comum.

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Etapa 9.1.11.2

Reescreva a expressão.

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 \cdot 1}$

Etapa 9.1.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$275.90958087 - 1500 e^{- 1}$

Etapa 9.1.13

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$275.90958087 - 1500 \frac{1}{e}$

Etapa 9.1.14

Combine $- 1500$ e $\frac{1}{e}$ .

$275.90958087 + \frac{- 1500}{e}$

Etapa 9.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$275.90958087 - \frac{1500}{e}$

Etapa 9.1.16

Substitua $e$ por uma aproximação.

$275.90958087 - \frac{1500}{2.71828182}$

Etapa 9.1.17

Divida $1500$ por $2.71828182$ .

$275.90958087 - 1 \cdot 551.81916175$

Etapa 9.1.18

Multiplique $- 1$ por $551.81916175$ .

$275.90958087 - 551.81916175$

Etapa 9.2

Subtraia $551.81916175$ de $275.90958087$ .

$- 275.90958087$

Etapa 10

$t = \frac{2}{5}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = \frac{2}{5}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $t = \frac{2}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $t$ por $\frac{2}{5}$ na expressão.

$A (\frac{2}{5}) = 300 (\frac{2}{5}) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Fatore $5$ de $300$ .

$A (\frac{2}{5}) = 5 (60) (\frac{2}{5}) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 11.2.1.2

Cancele o fator comum.

$A (\frac{2}{5}) = 5 \cdot (60 (\frac{2}{5})) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 11.2.1.3

Reescreva a expressão.

$A (\frac{2}{5}) = 60 \cdot 2 \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 11.2.2

Multiplique $60$ por $2$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Etapa 11.2.3

Cancele o fator comum de $2.5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Fatore $2.5$ de $- 2.5$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 (- 1) (\frac{2}{5})}$

Etapa 11.2.3.2

Fatore $2.5$ de $5$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 \cdot (- 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2})}$

Etapa 11.2.3.3

Cancele o fator comum.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 \cdot (- 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2})}$

Etapa 11.2.3.4

Reescreva a expressão.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Etapa 11.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Cancele o fator comum.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Etapa 11.2.4.2

Reescreva a expressão.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

Etapa 11.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1}$

Etapa 11.2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot \frac{1}{e}$

Etapa 11.2.7

Combine $120$ e $\frac{1}{e}$ .

$A (\frac{2}{5}) = \frac{120}{e}$

Etapa 11.2.8

A resposta final é $\frac{120}{e}$ .

$y = \frac{120}{e}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$ .

$(\frac{2}{5}, \frac{120}{e})$ é um máximo local

Etapa 13